Pendekatan Pade (Pade Approximation)

Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering 5th Ed

Sering kali kita bertemu dengan waktu jeda atau dead time pada sistem kendali.
Dead time ditandai dengan adanya jeda saat sistem diberi step input.
Nilai waktu ini dalam fungsi persamaan Laplace akan ditunjukan dalam bentuk eksponensial.

Contohnya pada sistem pemanas air, teko listrik misalnya. Setelah teko menyala, air tidak langsung mengalami kenaikan suhu dikarenakan filamen akan terlebih dahulu mengumpulkan energi panas untuk memanaskan air sebelum akhirnya menaikan suhu air.

Ada saatnya dalam sistem aplikasi dan analisis sistem kita perlu memperhitungkan nilai dead time ini, karena akan berpengaruh banyak dalam hasil dari respon sistem.
Apabila anda aktif pengguna software matlab, ketika anda mencoba untuk konversi kedalam bentuk state-space, anda akan diperingatkan untuk merubah terlebih dahulu ke dalam aproksimasi Pade.

Sebetulnya tidak harus menggunakan aproksimasi Pade pun tidak masalah.
Kita bisa menggunakan deret Taylor untuk aproksimasi bentuk eksponensial ini.

Semakin tinggi orde dari penggunaan deret Taylor, maka performansinya akan semakin baik namun lebih rumit. Dan juga sistem memiliki rise time yang lebih lama.

Dengan menggunakan aproksimasi Pade, hasil respon dan pendekatan akan lebih baik, rise time sistem akan lebih singkat. Terlihat pada gambar di bawah, tidak ada overshoot.

Menggunakan deret Taylor (http://lpsa.swarthmore.edu/BackGround/TimeDelay/TimeDelay.html)

Menggunakan Aproksimasi Pade (http://lpsa.swarthmore.edu/BackGround/TimeDelay/TimeDelay.html)

Penggunaan fungsi Pade di dalam matlab cukup mudah.
pade(L,N)
L: nilai dead time
N: orde dari aproksimasi pade

Untuk lebih detil-nya pada matlab, silahkan ketik help pade atau doc pade pada command window di software matlab.

Apabila anda penasaran dengan persamaan yang mendasari aproksimasi Pade dapat melihat susunan persamaan berikut.

Aproksimasi Pade pada sistem eksponential didasari pada persamaan berikut:

Untuk lebih detil, silahkan cek langsung di buku "Matrix Computations - Gene H Golub" hal 572.

Nah, sekarang untuk penyederhanaanya lagi, p=q=k (ini tidak ada direferensi)

Ingat:

0!=1 dan (2k)! =/= 2!k!

Maka dari itu deret aproksimasi Pade dapat dijabarkan sebagai berikut,

Tapi ingat, dalam kasus dead time pada sistem kendali yang digunakan adalah exp(-Ls), bukan exp(Ls). Maka dari itu,

Pembilang dan penyebut dapat dibalik untuk memenuhi kriteria sistem kendali.

Sekian informasi dari saya. Mohon maaf bila terjadi kesalahan.